Йоганн Карл Фрідріх Гаусс

Карл Гаус

Великий німецький математик Карл Гаус народився 30 квітня. Напевне Гаус не був би Гаусом, якби народився у рік відмінний від 1777-го. Але доля подарувала генію не лише красивим рік народження, але й відміряла йому красиву кількість років життя – 77.

Дудл

Дудл від Google 30 квітня в честь дня народження видатного математика

Науково-практичний семінар

21 квітня 2018 р. відбувся науково-практичний семінар вчителів фізики та математики системи довузівської підготовки Національного аерокосмічного університету  ім. М. Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”

Нечипорчук
Виступає в. о. ректора Нечипорчук М.В.

ХАІХАІ

Судоку

Логічна гра «Судоку» була відома ще в древньому Китаї, але популярною стала лише з появою комп’ютерів. Спершу вона з’явилася в Сполучених Штатах на сторінках журналу «Math Puzzles and Logic Problems» під назвою «Number Place», та особливої популярності вона тоді не набула. Лище у 2005 році вже з Японії під новою назвою вона повернулася у світ. Відтоді вона впевнено зайняла своє місце на сторінках газет і журналів поряд з кросвордами та сканвордами.

Судоку

Правила гри прості – потрібно заповнити порожні клітинки цифрами від 1 до 9. При цьому в кожному рядку, стовпчику, та в кожному з 9 блоків цифри повинні бути різними. Тож, щоб правильно заповнити поле потрібно докласти неабиякого терпіння та логічного мислення. Найперше, що потрібно зробити – заповнити цифрами ті клітинки для яких існує лише один варіант. Для найпростіших судоку цього буває достатньо.

Існує думка, що розв’язування судоку попереджає розвиток деяких хвороб головного мозку, а іноді і лікує їх. Тож розв’язуйте на здоров’я ці головоломки.

Теорема Вієта

ВієтФрансуа Вієт (1540 – 1603 рр) – французький математик. За освітою він був юристом та навіть був радником короля. А математикою він захоплювався у выльний від служби час. Але це не завадило йому створити основи символьної алгебри. Зокрема ми знаємо його, як автора знаметитої теореми. Доводити її тут ми не будемо, а лише сформулюємо.

Отже Теорема Вієта встановлює зв’язок між коренями квадратного рівняння та його коефіцієнтами.

Взагалі Вієт сформулював та довів свою теорему для многочлена будь-якого степеня, але в шкільному курсі зазвичай обмежуємось лише рівнянням другого степеня. 

Отже сума коренів квадратного рівняння дорівнює відношенню коефіцієнта b до a з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює відношенню вільного  члена c до коефіцієнта a.

    \[x_1+x_2=-\frac{b}{a}\]

    \[x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\]

Для приведеного капдратного рівняння (a=1)

    \[x_1+x_2=-b}\]

    \[x_1\cdot x_2=c\]

Теорема Вієта дозволяє перевірити корені рівняння, а іноді і знайти їх.

Корені квадратного рівняння

Як відомо, квадратне рівняння має вигляд:

    \[ax^2+bx+c=0\]

,

Де a і b – коєфіцієнти, а c – вільний член. Рівняння такого виду іноді називають рівнянням другого степеня. Корені квадратного рівняння це значення змінної x які задовольняють рівняння, тобто такі значення x при яких вираз ax^2+bx+c має значення 0, або іншими словами це точки на осі X у яких графік функції y= ax^2+bx+c перетинає її.

Парабола

Парабола може перетинати вісь X у двох точках, бути дотичною до неї своєю вершиною, або ж може зовсім не перетинати вісь абсцис. Звідси можна зробити висновок, що рівняння може мати два корені, один або зовсім не мати їх.

Для знаходження коренів рівняння не зручно кожного разу будувати за точками параболу, та й не точно це. Тому математики знайшли спосіб знаходити їх алгебраїчно.

Для цього спочатку необхідно за формулою обчислити дискримінант:

    \[D=\dsqrt{b^2-4ac}\]

Якщо підкореневий вираз від’ємний, то це говорить про те, що таке рівняння не має дійсних коренів. В іншому випадку, щоб знайти перший корінь рівняння потрібно знайти значення виразу

    \[\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]

Для знаходження другого кореня, у чисельнику перед коренем знак мінус змінюємо на плюс.

    \[\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}\]

Очевидно, що рівняння має єдиний корінь лише тоді, коли дискримінант дорівнює нулю.

У загальному випадку формула для знаходження коренів квадратного рівняння має такий вигляд:

    \[x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]

.

Для прикладу розв’яжемо рівняння: x^2-x-6=0

Знаходимо дискримінант: D=b^2-4ac;

    \[D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)\]

;

    \[D=25\]

;

Знаходимо корені рівняння:

    \[x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\cdot1}=-2\]

;

    \[x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\cdot1}=3\]

Наступні три рівняння розв’яжіть самостійно:

    \[x^2-5x+4=0\]

    \[x^2+2x+3=0\]

    \[x^2+8x+16=0\]

Перевірте себе

  1. Два корені: x_1=1, x_2=4;
  2. Дійсних коренів немає;
  3. Корінь один: x=-4.

[згорнути]

Для повного закріплення матеріалу рекомендується виконати вправи з підручника математики “Алгебра 8 клас”, автор О. С. Істер. (Стор. 137-139). 

Математичні перли школярів

Вражаюче незнання математики іноді буває досить смішним. Нерідко люди, яких попросили написати вираз «ікс в квадраті» роблять це таким чином:

Ікс в квадраті

Але це вже класика жанру.

У математиці багатьох країн світу котангенс позначається так: \cot. Більш більш глибокі знання математики продемонстрував одна американська студентка. Вираз \frac{\cos\alpha}{\cot\alpha} він спростив таким чином:

Котангенс

Скоріш за все люди з таким мисленням з легкістю впораються з наступним завданням: 

Потрібно заповнити порожню клітинку, але це не число 6. 

Це не 6

Правильна відповідь

Пятиступка

[згорнути]

Як запам’ятати формули зведення

Якщо формули зведення вам потрібні лише для того, щоб написати контрольну роботу, або пройти тести а потім на все життя їх забути, то вам швидше за все стане в пригоді така таблиця. Її з горем пополам можна запам’ятати на деякий час, або ж використати як “шпору”.
Формули зведенняЯкщо ж вам потрібно в голові багато вільного місця для майбутніх знань, то краще напрацювати навички швидкого виведення цих формул методом логічного мислення.
Ото ж – до справи! У лівій частині у нас тригонометрична функція \sin, \cos, \tg або \ctg. Це легко запам’ятати. Аргумент це завжди сума або різниця величин двох кутів. Перший з них може мати лише одне з чотирьох значень: 90, 180, 270 або 360 градусів (у радіанах це відповідно \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} або 2\pi). Тут ще й важливо знати де розташовані ці кути на тригонометричному колі. Якщо замість них бачимо інші значення кутів, то це вже інша тема.
Другий кут – це кут у межах від 0 до 90 градусів до якого ми, власне, і зводимо функцію. Позначається він латинською літерою x або грецькою \alpha. Іноді його позначають іншими літерами, наприклад  t або y.
Приклади: \cos(\dfrac{\pi}{2}+x), \sin(\pi+x), \tg(\dfrac{3\pi}{2}-x), \ctg(\dfrac{\pi}{2}+x) і т. д.
В залежності від аргументів функція може змінюватися або не змінюватися на свого двійника (\sin на \cos і навпаки, а \tg на \ctg). Крім того може змінюватися або не змінюватися знак.
В результаті зведення маємо тригонометричну функцію аргументом якої є кут до якого зводимо.
Щоб запам’тати, чи змінюється функція на двійника, слід уявно провести носом кілька разів вздовж осі на якій знаходиться аргумент. Якщо це кути \dfrac{\pi}{2} або \dfrac{3\pi}{2} то киваємо головою ствердно: «Так – змінюється». Якщо ж значення кутів на горизонтальній осі (\pi або 2\pi) то відповідь на питання – «Ні – не змінюється».
Тепер щодо знака. Він буде таким же, який знак має первинна функція при заданому аргументі.
Наприклад маємо звести функцію \sin(\dfrac{\pi}{2}+x). Кут \dfrac{\pi}{2} знаходиться на вертикальній осі. Ставимо питання: «Чи змінюється функція?» Рухи носом вздовж осі Y говорять: «Так, функція зміюється на двійника», тобто синус перетворюється на косинус. Тепер про знак. Уявно на небагато збільшуємо кут \dfrac{\pi}{2} і бачимо, що синус у цьому куті додатній, тому буде знак «+». Отже результат: \cos(x).

Тригонометричний круг
На інтерактивній моделі можна переміщати червону точку або натиснути кнопку анімації малюнка

Для прикладу розглянемо розв’язокии двох задач:

Задача 1.

Знайти значення виразу: \dfrac{5\cos41^{\circ}}{\sin131^{\circ}\cos240^{\circ}}

Відразу бачимо, що \sin131^{\circ} це \sin(90^{\circ} + 41^{\circ}). Кут 90^{\circ} лежить на осі Y, а це значить , що фкнкція міняється. Знак синуса при переході через цей кут не змінюється. Отже замінюємо цей множник на cos41^{\circ} та відразу скорочуємо дріб. Тепер щодо другого множника в знаменнику. 240^{\circ} це 180^{\circ} + 60^{\circ}. Кут 180^{\circ} знаходиться на горизонтатьній осі. Відповідаючи на питання, чи змінюється функція, кілька разів носом проводимо вздовж осі Х. Той, хто баче нас розуміє наш жест, як “Ні”.  Кут 240^{\circ} знаходиться в ІІІ четверті і косинус для нього від’ємний. Тож \cos(180^{\circ}+60^{\circ})=-\cos60^{\circ} тобто  -\dfrac{1}{2}. Таким чином значення виразу дорівнює -10

Задача 2.

Знайти значення виразу: \sqrt{2}\cos\dfrac{21\pi}{4}

\sqrt{2}\cos\dfrac{21\pi}{4}=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{20\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(5\pi}+\dfrac{\pi}{4}\right)

Точка 5\pi} знаходиться на горизонтальній осі, тому функція не змінюється. Кут 5\pi}+\dfrac{\pi}{4} знаходиться у ІІІ четверті де косинус має знак мінус. В результаті маємо \sqrt{2}\cdot-\cos\dfrac{\pi}{4}=-1

Вправи для закріплення здобутих знань:

1) \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)

2) \ctg\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)

3) \cos210^{\circ}

4) \sin3570^{\circ}

5) Спростити: \dfrac{6\cdot(\tg(2\pi -x)-\sin(\pi+x) )}{\ctg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin x}

Про формат А4 і не лише про нього

Чому саме таке співвідношення сторін у стандартного аркуша паперу? Все дуже просто. Ви вже напевно помітили, що, коли перегнути аркуш навпіл, то співвідношення сторін не зміниться. Давайте це співвідношення визначимо. Більша сторона аркуша дорівнює 297 мм, менша – 210. Розділимо довжину більшої сторони на довжину меншої і отримаємо число 1,4142… Те ж саме зробимо з половинкою аркуша А4. До речі такий формат має назву А5. Тепер його більша сторона дорівнює 210 мм, а менша приблизно 148 мм. Визначимо з допомогою калькулятора відношення. Отримали число 1,4189. Як бачимо, результат збігається з попереднім з точністю до 2 знаків після коми. Можете не сумніватися, що отримаємо такий же результат коли будемо мати справу з половинкою формату А5 або з форматом більшим удвічі за А4 (такий формат має назву А3).

У чому ж особливість такого відношення сторін? Адже, коли проробити подібні дії з прямокутником у якого сторони мають відношення відмінне від 1,41, то подібності чотирикутників ми спостерігати не будемо.

Відповідь на це питання нам дасть математика. Розглянемо таку задачу:

У деякому прямокутнику більша сторона відноситься до меншої так, як менша сторона відноситься до половини більшої сторони. Знайти це відношення.

Конкретні довжини не задані тож позначимо більшу сторону літерою a, а меншу літерою b. За умовою задачі \frac{a}{b}=\frac{b}{a/2}, що в більш красивому записі має такий вигляд: \frac{a}{b}=\frac{2b}{a}. Виразимо a через b: a=b\cdot\sqrt{2}. Отже бачимо що у чотирикутнику який так красиво ділиться навпіл відношення сторін дорівнює \sqrt{2} або приблизно 1,41.

З відношенням розібралися. А от чому стандартний розмір аркуша має саме такі розміри? Виною тому метрична система. Базовий стандартний аркуш паперу повинен мати площу 1 м2. А форма його за бажанням поліграфістів має бути саме такою, щоб при поділі навпіл співідношення сторін не змінювалось. Цей аркуш має назву А0. Скоріше за все у поліграфії такий формат не використовується, але поділивши його навпіл отримаємо два аркуша формату А1. Проте А0 це не найбільший представник формату. Більший у 2 рази за нього формат 2А0, а перше місце за розміром посідає Формат 4А0. Найменшим представником класу є формат паперу А10. Отож спробуйте самостійно підрахувати розміри аркуша 4А0.

І на завершення до вашої уваги задача про папір, яка опосередковано не пов’язана з темою нашої розмови, проте дає змогу протестувати ваше логічне мислення.

На столі лежить пачка паперу в 100 аркушів. За 10 секунд можна відрахувати 10 аркушів. Скільки часу знадобиться, щоб узяти 80 аркушів паперу?

 

Персональний сайт учителя математики Пасішної Ольги Миколаївни