Архів категорії: Шпаргалки

Теорема Вієта

ВієтФрансуа Вієт (1540 – 1603 рр) – французький математик. За освітою він був юристом та навіть був радником короля. А математикою він захоплювався у выльний від служби час. Але це не завадило йому створити основи символьної алгебри. Зокрема ми знаємо його, як автора знаметитої теореми. Доводити її тут ми не будемо, а лише сформулюємо.

Отже Теорема Вієта встановлює зв’язок між коренями квадратного рівняння та його коефіцієнтами.

Взагалі Вієт сформулював та довів свою теорему для многочлена будь-якого степеня, але в шкільному курсі зазвичай обмежуємось лише рівнянням другого степеня. 

Отже сума коренів квадратного рівняння дорівнює відношенню коефіцієнта b до a з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює відношенню вільного  члена c до коефіцієнта a.

    \[x_1+x_2=-\frac{b}{a}\]

    \[x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\]

Для приведеного капдратного рівняння (a=1)

    \[x_1+x_2=-b}\]

    \[x_1\cdot x_2=c\]

Теорема Вієта дозволяє перевірити корені рівняння, а іноді і знайти їх.

Як запам’ятати формули зведення

Якщо формули зведення вам потрібні лише для того, щоб написати контрольну роботу, або пройти тести а потім на все життя їх забути, то вам швидше за все стане в пригоді така таблиця. Її з горем пополам можна запам’ятати на деякий час, або ж використати як “шпору”.
Формули зведенняЯкщо ж вам потрібно в голові багато вільного місця для майбутніх знань, то краще напрацювати навички швидкого виведення цих формул методом логічного мислення.
Ото ж – до справи! У лівій частині у нас тригонометрична функція \sin, \cos, \tg або \ctg. Це легко запам’ятати. Аргумент це завжди сума або різниця величин двох кутів. Перший з них може мати лише одне з чотирьох значень: 90, 180, 270 або 360 градусів (у радіанах це відповідно \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} або 2\pi). Тут ще й важливо знати де розташовані ці кути на тригонометричному колі. Якщо замість них бачимо інші значення кутів, то це вже інша тема.
Другий кут – це кут у межах від 0 до 90 градусів до якого ми, власне, і зводимо функцію. Позначається він латинською літерою x або грецькою \alpha. Іноді його позначають іншими літерами, наприклад  t або y.
Приклади: \cos(\dfrac{\pi}{2}+x), \sin(\pi+x), \tg(\dfrac{3\pi}{2}-x), \ctg(\dfrac{\pi}{2}+x) і т. д.
В залежності від аргументів функція може змінюватися або не змінюватися на свого двійника (\sin на \cos і навпаки, а \tg на \ctg). Крім того може змінюватися або не змінюватися знак.
В результаті зведення маємо тригонометричну функцію аргументом якої є кут до якого зводимо.
Щоб запам’тати, чи змінюється функція на двійника, слід уявно провести носом кілька разів вздовж осі на якій знаходиться аргумент. Якщо це кути \dfrac{\pi}{2} або \dfrac{3\pi}{2} то киваємо головою ствердно: «Так – змінюється». Якщо ж значення кутів на горизонтальній осі (\pi або 2\pi) то відповідь на питання – «Ні – не змінюється».
Тепер щодо знака. Він буде таким же, який знак має первинна функція при заданому аргументі.
Наприклад маємо звести функцію \sin(\dfrac{\pi}{2}+x). Кут \dfrac{\pi}{2} знаходиться на вертикальній осі. Ставимо питання: «Чи змінюється функція?» Рухи носом вздовж осі Y говорять: «Так, функція зміюється на двійника», тобто синус перетворюється на косинус. Тепер про знак. Уявно на небагато збільшуємо кут \dfrac{\pi}{2} і бачимо, що синус у цьому куті додатній, тому буде знак «+». Отже результат: \cos(x).

Тригонометричний круг
На інтерактивній моделі можна переміщати червону точку або натиснути кнопку анімації малюнка

Для прикладу розглянемо розв’язокии двох задач:

Задача 1.

Знайти значення виразу: \dfrac{5\cos41^{\circ}}{\sin131^{\circ}\cos240^{\circ}}

Відразу бачимо, що \sin131^{\circ} це \sin(90^{\circ} + 41^{\circ}). Кут 90^{\circ} лежить на осі Y, а це значить , що фкнкція міняється. Знак синуса при переході через цей кут не змінюється. Отже замінюємо цей множник на cos41^{\circ} та відразу скорочуємо дріб. Тепер щодо другого множника в знаменнику. 240^{\circ} це 180^{\circ} + 60^{\circ}. Кут 180^{\circ} знаходиться на горизонтатьній осі. Відповідаючи на питання, чи змінюється функція, кілька разів носом проводимо вздовж осі Х. Той, хто баче нас розуміє наш жест, як “Ні”.  Кут 240^{\circ} знаходиться в ІІІ четверті і косинус для нього від’ємний. Тож \cos(180^{\circ}+60^{\circ})=-\cos60^{\circ} тобто  -\dfrac{1}{2}. Таким чином значення виразу дорівнює -10

Задача 2.

Знайти значення виразу: \sqrt{2}\cos\dfrac{21\pi}{4}

\sqrt{2}\cos\dfrac{21\pi}{4}=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{20\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(5\pi}+\dfrac{\pi}{4}\right)

Точка 5\pi} знаходиться на горизонтальній осі, тому функція не змінюється. Кут 5\pi}+\dfrac{\pi}{4} знаходиться у ІІІ четверті де косинус має знак мінус. В результаті маємо \sqrt{2}\cdot-\cos\dfrac{\pi}{4}=-1

Вправи для закріплення здобутих знань:

1) \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)

2) \ctg\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)

3) \cos210^{\circ}

4) \sin3570^{\circ}

5) Спростити: \dfrac{6\cdot(\tg(2\pi -x)-\sin(\pi+x) )}{\ctg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin x}

Правила диференціювання

Похідна постійної величини (константи) завжди рівна нулю:

    \[c'=0\]

Похідна суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) похідних цих функцій. Наприклад, для функцій u(x) і v(x) справедлива рівність:

    \[(u \pm v)' = u' \pm v'\\\]

Для обчислення похідної добутку функцій u(x) і v(x) слід скористатися наступним правилом:

    \[(u \cdot v)' = u'v+v'u\]

Похідну частки двох функцій знаходимо за таким правилом:

    \[\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-v'u}{v^2}\]

Похідна складеної функції:

    \[(u(v))'=u'(v) \cdot v'\]

Таблиця простих чисел від 2 до 1000

Просте число — це натуральне число, яке має рівно два різних натуральних дільники (лише 1 і саме число). Решту чисел, окрім одиниці, називають складеними. Таким чином, всі натуральні числа, більші від одиниці, розбивають на прості і складені. Теорія чисел вивчає властивості простих чисел.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151
157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359
367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433
439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503
509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593
599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659
661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743
751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827
829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997