Архів категорії: Калейдоскоп

Три задачі

Одного разу Івасик Телесик утік з уроку математики і пішов блукати містом. От іде він по вулиці, а назустріч йому злий Чарівник. Підхопив він Телесика, та й полетів через ліси, через моря до своєї оселі. Приніс та й замкнув його на кодовий замок з трьома цифрами.

Сидить Івасик та й плаче. Аж ось прилітає якась пташка та й каже: «Я допоможу тобі вибратися звідси. Розгадка у задачах, що намальовані на стінах цієї в’язниці. Відповідь на першу задачу – кількість десятків числа, відповідь на другу – кількість сотень, А третя відповідь, то кількість одиниць. Але я математики не знаю. Колись я була дівчинкою і також втекла з математики. От злий Чарівник і перетворив мене в пташку. Якщо зумієш розв’язати ці задачі, то ми визволимося з неволі».

Допоможіть дітям відгадати
секрет замка.

Йоганн Карл Фрідріх Гаусс

Карл Гаус

Великий німецький математик Карл Гаус народився 30 квітня. Напевне Гаус не був би Гаусом, якби народився у рік відмінний від 1777-го. Але доля подарувала генію не лише красивим рік народження, але й відміряла йому красиву кількість років життя – 77.

Дудл

Дудл від Google 30 квітня в честь дня народження видатного математика

Судоку

Логічна гра «Судоку» була відома ще в древньому Китаї, але популярною стала лише з появою комп’ютерів. Спершу вона з’явилася в Сполучених Штатах на сторінках журналу «Math Puzzles and Logic Problems» під назвою «Number Place», та особливої популярності вона тоді не набула. Лище у 2005 році вже з Японії під новою назвою вона повернулася у світ. Відтоді вона впевнено зайняла своє місце на сторінках газет і журналів поряд з кросвордами та сканвордами.

Судоку

Правила гри прості – потрібно заповнити порожні клітинки цифрами від 1 до 9. При цьому в кожному рядку, стовпчику, та в кожному з 9 блоків цифри повинні бути різними. Тож, щоб правильно заповнити поле потрібно докласти неабиякого терпіння та логічного мислення. Найперше, що потрібно зробити – заповнити цифрами ті клітинки для яких існує лише один варіант. Для найпростіших судоку цього буває достатньо.

Існує думка, що розв’язування судоку попереджає розвиток деяких хвороб головного мозку, а іноді і лікує їх. Тож розв’язуйте на здоров’я ці головоломки.

Теорема Вієта

ВієтФрансуа Вієт (1540 – 1603 рр) – французький математик. За освітою він був юристом та навіть був радником короля. А математикою він захоплювався у выльний від служби час. Але це не завадило йому створити основи символьної алгебри. Зокрема ми знаємо його, як автора знаметитої теореми. Доводити її тут ми не будемо, а лише сформулюємо.

Отже Теорема Вієта встановлює зв’язок між коренями квадратного рівняння та його коефіцієнтами.

Взагалі Вієт сформулював та довів свою теорему для многочлена будь-якого степеня, але в шкільному курсі зазвичай обмежуємось лише рівнянням другого степеня. 

Отже сума коренів квадратного рівняння дорівнює відношенню коефіцієнта b до a з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює відношенню вільного  члена c до коефіцієнта a.

    \[x_1+x_2=-\frac{b}{a}\]

    \[x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\]

Для приведеного капдратного рівняння (a=1)

    \[x_1+x_2=-b}\]

    \[x_1\cdot x_2=c\]

Теорема Вієта дозволяє перевірити корені рівняння, а іноді і знайти їх.

Математичні перли школярів

Вражаюче незнання математики іноді буває досить смішним. Нерідко люди, яких попросили написати вираз «ікс в квадраті» роблять це таким чином:

Ікс в квадраті

Але це вже класика жанру.

У математиці багатьох країн світу котангенс позначається так: \cot. Більш більш глибокі знання математики продемонстрував одна американська студентка. Вираз \frac{\cos\alpha}{\cot\alpha} він спростив таким чином:

Котангенс

Скоріш за все люди з таким мисленням з легкістю впораються з наступним завданням: 

Потрібно заповнити порожню клітинку, але це не число 6. 

Це не 6

Правильна відповідь

Пятиступка

[згорнути]

Про формат А4 і не лише про нього

Чому саме таке співвідношення сторін у стандартного аркуша паперу? Все дуже просто. Ви вже напевно помітили, що, коли перегнути аркуш навпіл, то співвідношення сторін не зміниться. Давайте це співвідношення визначимо. Більша сторона аркуша дорівнює 297 мм, менша – 210. Розділимо довжину більшої сторони на довжину меншої і отримаємо число 1,4142… Те ж саме зробимо з половинкою аркуша А4. До речі такий формат має назву А5. Тепер його більша сторона дорівнює 210 мм, а менша приблизно 148 мм. Визначимо з допомогою калькулятора відношення. Отримали число 1,4189. Як бачимо, результат збігається з попереднім з точністю до 2 знаків після коми. Можете не сумніватися, що отримаємо такий же результат коли будемо мати справу з половинкою формату А5 або з форматом більшим удвічі за А4 (такий формат має назву А3).

У чому ж особливість такого відношення сторін? Адже, коли проробити подібні дії з прямокутником у якого сторони мають відношення відмінне від 1,41, то подібності чотирикутників ми спостерігати не будемо.

Відповідь на це питання нам дасть математика. Розглянемо таку задачу:

У деякому прямокутнику більша сторона відноситься до меншої так, як менша сторона відноситься до половини більшої сторони. Знайти це відношення.

Конкретні довжини не задані тож позначимо більшу сторону літерою a, а меншу літерою b. За умовою задачі \frac{a}{b}=\frac{b}{a/2}, що в більш красивому записі має такий вигляд: \frac{a}{b}=\frac{2b}{a}. Виразимо a через b: a=b\cdot\sqrt{2}. Отже бачимо що у чотирикутнику який так красиво ділиться навпіл відношення сторін дорівнює \sqrt{2} або приблизно 1,41.

З відношенням розібралися. А от чому стандартний розмір аркуша має саме такі розміри? Виною тому метрична система. Базовий стандартний аркуш паперу повинен мати площу 1 м2. А форма його за бажанням поліграфістів має бути саме такою, щоб при поділі навпіл співідношення сторін не змінювалось. Цей аркуш має назву А0. Скоріше за все у поліграфії такий формат не використовується, але поділивши його навпіл отримаємо два аркуша формату А1. Проте А0 це не найбільший представник формату. Більший у 2 рази за нього формат 2А0, а перше місце за розміром посідає Формат 4А0. Найменшим представником класу є формат паперу А10. Отож спробуйте самостійно підрахувати розміри аркуша 4А0.

І на завершення до вашої уваги задача про папір, яка опосередковано не пов’язана з темою нашої розмови, проте дає змогу протестувати ваше логічне мислення.

На столі лежить пачка паперу в 100 аркушів. За 10 секунд можна відрахувати 10 аркушів. Скільки часу знадобиться, щоб узяти 80 аркушів паперу?