Всі записи автора Ольга Пасішна

Науково-практичний семінар

21 квітня 2018 р. відбувся науково-практичний семінар вчителів фізики та математики системи довузівської підготовки Національного аерокосмічного університету  ім. М. Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”

Нечипорчук
Виступає в. о. ректора Нечипорчук М.В.

ХАІХАІ

Судоку

Логічна гра «Судоку» була відома ще в древньому Китаї, але популярною стала лише з появою комп’ютерів. Спершу вона з’явилася в Сполучених Штатах на сторінках журналу «Math Puzzles and Logic Problems» під назвою «Number Place», та особливої популярності вона тоді не набула. Лище у 2005 році вже з Японії під новою назвою вона повернулася у світ. Відтоді вона впевнено зайняла своє місце на сторінках газет і журналів поряд з кросвордами та сканвордами.

Судоку

Правила гри прості – потрібно заповнити порожні клітинки цифрами від 1 до 9. При цьому в кожному рядку, стовпчику, та в кожному з 9 блоків цифри повинні бути різними. Тож, щоб правильно заповнити поле потрібно докласти неабиякого терпіння та логічного мислення. Найперше, що потрібно зробити – заповнити цифрами ті клітинки для яких існує лише один варіант. Для найпростіших судоку цього буває достатньо.

Існує думка, що розв’язування судоку попереджає розвиток деяких хвороб головного мозку, а іноді і лікує їх. Тож розв’язуйте на здоров’я ці головоломки.

Корені квадратного рівняння

Як відомо, квадратне рівняння має вигляд:

    \[ax^2+bx+c=0\]

,

Де a і b – коєфіцієнти, а c – вільний член. Рівняння такого виду іноді називають рівнянням другого степеня. Корені квадратного рівняння це значення змінної x які задовольняють рівняння, тобто такі значення x при яких вираз ax^2+bx+c має значення 0, або іншими словами це точки на осі X у яких графік функції y= ax^2+bx+c перетинає її.

Парабола

Парабола може перетинати вісь X у двох точках, бути дотичною до неї своєю вершиною, або ж може зовсім не перетинати вісь абсцис. Звідси можна зробити висновок, що рівняння може мати два корені, один або зовсім не мати їх.

Для знаходження коренів рівняння не зручно кожного разу будувати за точками параболу, та й не точно це. Тому математики знайшли спосіб знаходити їх алгебраїчно.

Для цього спочатку необхідно за формулою обчислити дискримінант:

    \[D=\dsqrt{b^2-4ac}\]

Якщо підкореневий вираз від’ємний, то це говорить про те, що таке рівняння не має дійсних коренів. В іншому випадку, щоб знайти перший корінь рівняння потрібно знайти значення виразу

    \[\dfrac{-b-\sqrt{D}}{2a}\]

Для знаходження другого кореня, у чисельнику перед коренем знак мінус змінюємо на плюс.

    \[\dfrac{-b+\sqrt{D}}{2a}\]

Очевидно, що рівняння має єдиний корінь лише тоді, коли дискримінант дорівнює нулю.

У загальному випадку формула для знаходження коренів квадратного рівняння має такий вигляд:

    \[x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\]

.

Для прикладу розв’яжемо рівняння: x^2-x-6=0

Знаходимо дискримінант: D=b^2-4ac;

    \[D=1^2-4\cdot1\cdot(-6)\]

;

    \[D=25\]

;

Знаходимо корені рівняння:

    \[x_1=\frac{-(-1)-\sqrt{25}}{2\cdot1}=-2\]

;

    \[x_2=\frac{-(-1)+\sqrt{25}}{2\cdot1}=3\]

Наступні три рівняння розв’яжіть самостійно:

    \[x^2-5x+4=0\]

    \[x^2+2x+3=0\]

    \[x^2+8x+16=0\]

Перевірте себе

  1. Два корені: x_1=1, x_2=4;
  2. Дійсних коренів немає;
  3. Корінь один: x=-4.

[згорнути]

Для повного закріплення матеріалу рекомендується виконати вправи з підручника математики “Алгебра 8 клас”, автор О. С. Істер. (Стор. 137-139). 

Як запам’ятати формули зведення

Якщо формули зведення вам потрібні лише для того, щоб написати контрольну роботу, або пройти тести а потім на все життя їх забути, то вам швидше за все стане в пригоді така таблиця. Її з горем пополам можна запам’ятати на деякий час, або ж використати як “шпору”.
Формули зведенняЯкщо ж вам потрібно в голові багато вільного місця для майбутніх знань, то краще напрацювати навички швидкого виведення цих формул методом логічного мислення.
Ото ж – до справи! У лівій частині у нас тригонометрична функція \sin, \cos, \tg або \ctg. Це легко запам’ятати. Аргумент це завжди сума або різниця величин двох кутів. Перший з них може мати лише одне з чотирьох значень: 90, 180, 270 або 360 градусів (у радіанах це відповідно \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2} або 2\pi). Тут ще й важливо знати де розташовані ці кути на тригонометричному колі. Якщо замість них бачимо інші значення кутів, то це вже інша тема.
Другий кут – це кут у межах від 0 до 90 градусів до якого ми, власне, і зводимо функцію. Позначається він латинською літерою x або грецькою \alpha. Іноді його позначають іншими літерами, наприклад  t або y.
Приклади: \cos(\dfrac{\pi}{2}+x), \sin(\pi+x), \tg(\dfrac{3\pi}{2}-x), \ctg(\dfrac{\pi}{2}+x) і т. д.
В залежності від аргументів функція може змінюватися або не змінюватися на свого двійника (\sin на \cos і навпаки, а \tg на \ctg). Крім того може змінюватися або не змінюватися знак.
В результаті зведення маємо тригонометричну функцію аргументом якої є кут до якого зводимо.
Щоб запам’тати, чи змінюється функція на двійника, слід уявно провести носом кілька разів вздовж осі на якій знаходиться аргумент. Якщо це кути \dfrac{\pi}{2} або \dfrac{3\pi}{2} то киваємо головою ствердно: «Так – змінюється». Якщо ж значення кутів на горизонтальній осі (\pi або 2\pi) то відповідь на питання – «Ні – не змінюється».
Тепер щодо знака. Він буде таким же, який знак має первинна функція при заданому аргументі.
Наприклад маємо звести функцію \sin(\dfrac{\pi}{2}+x). Кут \dfrac{\pi}{2} знаходиться на вертикальній осі. Ставимо питання: «Чи змінюється функція?» Рухи носом вздовж осі Y говорять: «Так, функція зміюється на двійника», тобто синус перетворюється на косинус. Тепер про знак. Уявно на небагато збільшуємо кут \dfrac{\pi}{2} і бачимо, що синус у цьому куті додатній, тому буде знак «+». Отже результат: \cos(x).

Тригонометричний круг
На інтерактивній моделі можна переміщати червону точку або натиснути кнопку анімації малюнка

Для прикладу розглянемо розв’язокии двох задач:

Задача 1.

Знайти значення виразу: \dfrac{5\cos41^{\circ}}{\sin131^{\circ}\cos240^{\circ}}

Відразу бачимо, що \sin131^{\circ} це \sin(90^{\circ} + 41^{\circ}). Кут 90^{\circ} лежить на осі Y, а це значить , що фкнкція міняється. Знак синуса при переході через цей кут не змінюється. Отже замінюємо цей множник на cos41^{\circ} та відразу скорочуємо дріб. Тепер щодо другого множника в знаменнику. 240^{\circ} це 180^{\circ} + 60^{\circ}. Кут 180^{\circ} знаходиться на горизонтатьній осі. Відповідаючи на питання, чи змінюється функція, кілька разів носом проводимо вздовж осі Х. Той, хто баче нас розуміє наш жест, як “Ні”.  Кут 240^{\circ} знаходиться в ІІІ четверті і косинус для нього від’ємний. Тож \cos(180^{\circ}+60^{\circ})=-\cos60^{\circ} тобто  -\dfrac{1}{2}. Таким чином значення виразу дорівнює -10

Задача 2.

Знайти значення виразу: \sqrt{2}\cos\dfrac{21\pi}{4}

\sqrt{2}\cos\dfrac{21\pi}{4}=\sqrt{2}\cos\left(\dfrac{20\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\cos\left(5\pi}+\dfrac{\pi}{4}\right)

Точка 5\pi} знаходиться на горизонтальній осі, тому функція не змінюється. Кут 5\pi}+\dfrac{\pi}{4} знаходиться у ІІІ четверті де косинус має знак мінус. В результаті маємо \sqrt{2}\cdot-\cos\dfrac{\pi}{4}=-1

Вправи для закріплення здобутих знань:

1) \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}+x\right)

2) \ctg\left(\dfrac{3\pi}{2}-x\right)

3) \cos210^{\circ}

4) \sin3570^{\circ}

5) Спростити: \dfrac{6\cdot(\tg(2\pi -x)-\sin(\pi+x) )}{\ctg\left(\frac{\pi}{2}+x\right)+\sin x}

Контрольна робота з геометрії 11 клас

Тема: «Об’єми многогранників».

Геометричні фігури

Робота дозволяє проконтролювати рівень знань:

  • Об’єм піраміди;
  • Об’єм призми;
  • Площа трикутника;
  • Види трикутників та їх властивості;
  • Види чотирикутників та їх властивості;
  • Формула Герона;
  • Визначення тригонометричних функцій. Формули зведення;
ВАРІАНТ 1

  1. Основою прямої призми є прямокутник, одна сторона якого 15 см, а діагональ – 17 см. Знайдіть об’єм призми, якщо її висота 10 см.
  2. Основою піраміди є трикутник з сторонами 13 см. 14 см, 15 см. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота 6 см.
  3. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з кутом при вершині. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трикутника, дорівнює d і утворює з площиною основи кут Знайдіть об’єм призми.
  4. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом 300 при основі і бічною стороною 12 см. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут 600. Знайдіть об’єм піраміди.
  5. Сторони основ правильної трикутної зрізаної піраміди 2 см і 4 см, висота – 5 см. Знайдіть об’єм зрізаної піраміди.
  6. Основою піраміди є ромб з гострим кутом і більшою діагоналлю d. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом. Знайдіть об’єм піраміди.

[згорнути]
ВАРІАНТ 2

  1. Сторони основ правильної чотирикутної зрізаної піраміди 3 см і 4 см. Висота – 5 см. . Знайдіть об’єм зрізаної піраміди.
  2. Основою прямої призми є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого 13 см. А катет – 12 см. Її висота 5 см. Знайдіть об’єм призми.
  3. Основою прямої призми є рівнобедрений трикутник з бічною стороною b і кутом  при вершині. Діагональ бічної грані, що містить бічну сторону трикутника  утворює з площиною основи кут Знайдіть об’єм призми.
  4. Основою піраміди є рівнобедрений трикутник з кутом 1200 і основою  12 см. Усі бічні ребра піраміди утворюють з площиною основи кут 600. Знайдіть об’єм піраміди.
  5. Основою піраміди є трикутник з сторонами 13 см, 20 см, 21 см. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота 9 см.
  6. Основою піраміди є ромб з гострим кутом  і меншою діагоналлю d. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом .  Знайдіть об’єм піраміди.

[згорнути]

ЗавантажитиФормат Word

Перевірте свої здібності

Існує легенда, що Генрі Форд кандидатам на посаду інженера в його підприємстві пропонував такий тест:

Donald? Gerald? Robert

Потрібно замість літер поставити цифри. При чому одинаковим літерам відповідають одинакові цифри, а різні літери – різні цифри.

На проходження тесту відомий підприємець давав лише 15 хвилин і лише єдину підказку: D = 5.

Звичайно ж у світовій павутині є відповідь на це питання, але все ж спробуйте пройти тест на інженера самостійно, а про результат напишіть у коментарі. Удачі!

 

Геометричний зміст похідної функції

Ми вже знайомилися з функціями і знаємо, при збільшенні аргументу значення функції може збільшуватися, зменшуватися або залишатися незмінним. Буває так, що при незначній зміні аргументу функція стрімко зростає, а буває зростання або спадання повільним. Найкраще це видно на графіку функції. Спробуємо описати поведінку функції математично.

Нехай ми маємо справу з деякою довільною функцією f(x). Ми бачимо, що на  деяких ділянках вона зростає, а на інших спадає. На графіку можуть бути ділянки, на яких функція з ростом аргументу не змінюється.

Для кожного значення аргументу можна описати поведінку функції у порівнянні з її попереднім значенням. Як же охарактеризувати ступінь того, як швидко функція змінює своє значення?

Для цього можна скористатися дотичною прямою до конкретної точки на графіку. Кут, який утворює ця пряма з віссю X і є характеристикою «крутизни» функції в даній точці. В математиці зручно характеризувати кут нахилу дотичної його тангенсом. 

Інтерактивна математична модель, що демонструє геометричний зміст похідної.
  • Червоний трикутник можна переміщувати
  • Можна вмикати та вимикати зображення дотичної
  • Можна мишкою масштабувати та зміщувати зображення.
Похідна функції
Натисніть на зображення, щоб перейти до інтерактивної моделі

Від точки до точки графіка кут нахилу дотичної до них може змінюватися. Отже, якщо кожному значенню аргументу поставити у відповідність не саме значення функції, а тангенс кута нахилу дотичної до графіка в даній точці то ми будемо мати справу уже з іншою функцією. Цю функцію називають похідною функції f(x) бо вона походить від неї. По відношенню до похідної основна функція є її первісно. За допомогою похідної функції можна визначити поведінку первісної у будь-якій визначеній точці, тобто математично обґрунтувати зростає вона чи спадає і як швидко вона це робить.